Nos últimos anos aconteceram investigações cujo tema central foi a construção e o estudo de entidades geométricas denominadas “Fractais”. Na constituição de nosso mundo, da natureza em geral, nos nossos oceanos, continentes, com suas costas, suas montanhas, plantas, animais, nas nuvens etc., temos componentes com suas formas nas quais dominam a irregularidade e o caos. Tentar simplificá-las, empregando formas usuais da clássica Geometria Euclidiana, como triângulos e círculos seria absurdamente inadequado. A Geometria Fractal pode fornecer aproximações para essas formas.
A idéia de explorar a Geometria Fractal deve-se ao fato de observarem-se as deficiências da Geometria Euclidiana para o estudo de formas da natureza, desde que é, em geral, apenas apropriada para formas do mundo oriundas do humano, como construções de casas, prédios, pontes, estradas, máquinas, etc. Os objetos naturais são com frequência mais complicadas e exigem uma geometria mais rica, que os modela com fractais.
A Geometria Fractal pode ser utilizada para descrever diversos fenômenos da natureza, onde não podem ser utilizadas as geometrias tradicionais. É o que Benoit Mandelbrot expressou muito bem na frase: “Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, continentes não são círculos, um latido não é contínuo e nem um raio viaja em linha reta”.
O cientista Benoit Mandelbrot, nascido em 1924 é considerado o “pai dos fractais” e ao trabalhar na IBM pesquisou o problema enfrentado pela empresa em relação as suas linhas telefônicas que eram usadas para a transmissão de dados. Vez ou outra havia certos ruídos que causavam erro nos dados transmitidos. Quando Mandelbrot começou a analisar o problema, soube que os ruídos apesar de aleatórios, apresentavam características peculiares.
A intuição geométrica era uma de suas qualidades e logo associou a distribuição de erros a uma construção chamada Conjunto de Cantor, nome dado em homenagem ao matemático russo George Cantor (1845-1918). Ruy Madsen Barbosa apresenta essa construção no livro Descobrindo a Geometria Fractal para a Sala de aula. “Comece com uma linha de certo tamanho; tire o terço médio; tire o terço médio das duas linhas restantes; repita o processo várias vezes. O que sobra são finas linhas chamadas poeira de Cantor”.Em uma tarde de inverno de 1975 Benoit Mandelbrot encontrou no dicionário de latim do filho pequeno um nome para a sua abstração. Escolheu o termo fractus, do verbo frangere (fraturar, quebrar), que depois se tornaria fractal. Um traço importante da vida daquele homem estava representado naquela expressão.
Segundo Ruy Madsen Barbosa, a ciência dos fractais apresenta estruturas geométricas de grande complexidade e beleza infinita, ligadas às formas da natureza, ao desenvolvimento da vida e à própria compreensão do universo. São imagens de objetos abstratos que possuem o caráter de onipresença por terem as características do todo infinitamente multiplicadas dentro de cada parte, escapando assim da compreensão em sua totalidade pela mente humana.
Lúcia Helena de Oliveira, na reportagem “Matemática do Delírio”, publicada pela Revista Super Interessante, apresentou de forma clara as três características básicas de um fractal:
Auto-similaridade: é a simetria através das escalas, ou seja, um objeto possui auto-similaridade se apresenta sempre o mesmo aspecto a qualquer escala em que seja observado. Se repararmos, todas as formas geométricas ortodoxas perdem a sua estrutura quando são ampliadas ou diminuídas. Um círculo numa escala muito maior não é nada mais do que uma reta, basta ter em mente que à apenas 500 anos se pensava que a Terra era plana. Isto acontece porque à escala humana não vemos mais do que ma linha reta no horizonte. No entanto a maior parte dos objetos com que lidamos no nosso dia-a-dia não é reta, nem esfera ou cone.
Dimensão Fracionária: segundo Euclides, matemático grego que viveu cerca de 2200 anos atrás, existem figuras que não têm dimensão, ou seja, têm dimensão 0. É o caso dos pontos, como este ponto final (.). Uma linha por sua vez, é algo com uma única dimensão. Já a capa de uma revista tem duas dimensões. Pois, para conhecer qual a sua área, é necessário multiplicar o comprimento pela largura. Do mesmo modo, um bloco possui três dimensões, porque precisamos multiplicar três números (comprimento, largura e altura) para saber qual o seu volume. Euclides estava certo. Mas não resolveu todo o problema. Os contornos das montanhas, a superfície dos pulmões humanos, existe uma infinidade de fenômenos na natureza, que graças à sua irregularidade, não podem ser descritos pela geometria clássica. É preciso recorrer a complicados cálculos que resultam nas chamadas dimensões fracionárias – como a dimensão 0,5, por exemplo, típica de um objeto que é mais do que um simples ponto com dimensão zero, porém menos do que uma linha com dimensão um (o Conjunto de Cantor, por exemplo). Só a chamada Geometria dos Fractais consegue descrevê-lo.
Processo Iterativo: através de um processo relativamente simples, repetido, matematicamente falando, infinitas vezes chega-se a um resultado bastante complexo – o Fractal.
Distante do rigor e do formalismo matemático pode-se definir fractais, como nos ensinam alguns estudiosos da área: “objetos que apresentam auto-semelhança e complexidade infinita, ou seja, têm sempre cópias aproximadas de si mesmo em seu interior”. O conceito de fractal ainda tem muito a desejar. Entretanto, essa dificuldade não deve ser obstáculo na Educação, à qual pode simplesmente convir uma conceituação simples e de fácil compreensão e entendimento. Bastará considerarmos a auto-similaridade.
Ruy Madsen Barbosa, no livro Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula, aborda a construção de vários fractais. Um bom modo de entender o conceito de fractal é através de um exemplo, como o tapete de Sierpinski, construído a partir de um quadrado compacto. No primeiro passo, divide-se o quadrado em nove outros e retira-se o do centro. No segundo, cada um dos quadrados restantes é dividido em nove, retirando-se de novo os quadrados centrais. Os passos seguintes repetem o mesmo processo. Cada parte do “tapete”, em um passo, é uma versão menor do conjunto no passo anterior. Nesse caso, a auto-similaridade é exata e se mantém em todas as escalas – isso define os chamados fractais matemáticos determinísticos. Olhando, por exemplo, para um tronco de uma árvore, verificamos que é extremamente rugoso e irregular. Se observarmos um pequeno pedaço desse tronco ao microscópio observamos novas rugosidades e irregularidades que antes não tínhamos observado. No entanto essa imagem assemelha-se bastante à anterior. É esta irregularidade regular que caracteriza um fractal. Como distinção dos determinísticos tais objetos são chamados fractais aleatórios.
A Geometria dos Fractais está intimamente ligada a uma nova ciência chamada Caos. As estruturas fragmentadas, extremamente belas e complexas dessa geometria, fornecem uma certa ordem ao Caos, buscando padrões dentro de um sistema por vezes aparentemente aleatório. Ambas, Geometria Fractal e Teoria do Caos, se desenvolveram principalmente pelo rápido aprimoramento das técnicas computacionais, a primeira teve e tem como poderoso propulsor o seu inegável apelo estético, daí sua entrada no domínio das artes, uma verdadeira galeria de fractais.
É surpreendente o número de fractais presentes na natureza. Entender como se formam padrões fractais a partir de uma dinâmica de sistemas complexos ou de sistemas caóticos, em particular no caso de sistemas biológicos (vasos sangüíneos, árvore bronquial, estruturas dos neurônios, etc.) é um dos grandes desafios atuais da ciência.
Ver e sentir o belo e apresentar um senso estético é talvez propriedade inerente a poucos temas da matemática, muitos são áridos ou desinteressantes. No entanto para a Geometria Fractal, faz-se necessário ao educador conseguir captar o educando com o transparecer de sua própria vibração e talvez evidenciando o êxtase na contemplação da beleza de seus visuais, conduzindo-o ao prazer pelas informações e conhecimentos culturais da vasta variedade de fractais.
Xênia Gouvêa Dornelas Henrique
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula. 1.ed. Belo Horizonte : Autêntica, 2002. 144 p.
OLIVEIRA, Lúcia Helena. A Matemática do delírio. Super Interessante, São Paulo, n.10, p. 22-7, out, 94.
BARCO, Luiz. Dimensões Fracionárias geram os Fractais. Super Interessante, São Paulo, n.8, p. 52-3, ago, 92.
FURTADO, Fred. Matemática contra Câncer. Ciência Hoje, Rio de Janeiro, n.194, p. 12-6, jun, 03.
ENCONTRO MINEIRO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 3, 2003, Belo Horizonte. Anais... Belo Horizonte : Sociedade Brasileira de Educação Matemática, 2003.
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